明顯的選擇，往往是錯的。畢竟，我們雖然喜歡簡單的直線，非線性現象卻在商業世界中無所不在。因此，如能以數據視覺化的方式繪製關係圖，就能看出是否屬於非線性關係，以及是什麼樣的非線性關係，進而做出理想決定。
試用下面的應用問題來測試自己：假設你負責管理的公司車隊，其中有兩款車型，一種是每加侖能行駛十哩的休旅車，以及每加侖能行駛二十哩的轎車。兩種車款的數量相同，所有車輛每年都行駛一萬哩。你有足夠的資金，可用更具燃料效率的汽車，來取代其中一個車款，以降低營運成本，並達到永續性的目標。
下面哪一個升級方案較好？
A. 用每加侖能行駛二十哩的汽車，取代十哩的汽車
B. 用每加侖能行駛五十哩的汽車，取代二十哩的汽車
直覺上，方案B似乎更讓人印象深刻，每加侖能行駛的距離增加三十哩，遠大於增加十哩。增加的比率也更大。但B方案沒有比較好。其實，甚至遠不及方案A。讓我們來比較看看。
這樣的結果讓人驚訝嗎？對很多人來說，是的。因為我們心目中MPG和燃料消耗的關係，比它們實際的關係還簡單。我們傾向把它們想成像是下圖的線性關係：
但這個圖是不正確的。汽油消耗與MPG，並不是線性關係。你在計算兩者的關係時，實際的關係應該像下圖：
當你切割曲線來呈現各個升級方案，就能請楚看出汰換10MPG的方案更有效得多。
讓人不敢置信地，把燃料效率從20MPG升級至100MPG所能節省的汽油，還是比不上從10MPG升級到20MPG。
但即使事實已擺在眼前，選擇較少哩程數的升級方案，依舊是違反直覺的。感覺就是怪怪的。
如果你還是無法理解這點，這不是你的錯。認知心理學數十年的研究顯示，人類大腦不太容易理解非線性關係。我們的腦袋希望畫出簡單的直線。在很多情況下，這種思維對我們很有利：若你能在書架擺上五十本書，只要增加一個書架，你就可以擺上一百本書，再增加一個書架，就可以擺上150本。類似的情況，如果每杯咖啡價格兩美元，十美元就可以買五杯；十杯咖啡，是二十美元；15杯，是三十美元。
但商業裡存在很多高度非線性的關係，當它們在運作時，我們必須能辨別得出來。無論是對通才還是專家來說，都是如此，因為即使清楚自身領域內非線性關係的專家，也可能忘了考慮這些，而直接仰賴直覺。但仰賴直覺，常常會做出糟糕的決定。
實務中的線性偏誤
在真實世界的許多情境當中，一再發生消費者與企業因線性偏誤而犯錯。獲利這個重要的企業目標，正是常見的問題之一。
影響獲利的三個重要因素是成本、數量與價格。若其中一個因素有變動，通常必須對其餘兩個因素採取行動，才能維持獲利。例如，如果成本上漲，就必須增加價格或數量來化解受到的影響；如果降價，就必須降低成本或增加數量，才能避免獲利下滑。
可惜，經理人對這些影響獲利的因素之間關係的直覺，未必總是很好。專家多年來一直叮嚀企業，價格變動對獲利的影響，遠超過數量或成本的變動。然而，高階主管往往過度專注在數量與成本上，而不是設法找到合適的價格。
為什麼？因為降價後帶來的銷量大增，非常令人振奮。但人們不了解的是，如果想維持獲利，數量必須增加多少，尤其是利潤很低時，更不容易釐清這一點。
假設你負責一個紙巾品牌。每捲售價五十美分，生產每捲紙巾的邊際成本是15美分，而你最近推出兩次的價格促銷。這兩個方案的比較如下：
直覺上，方案B看來更讓人印象深刻，減價40％而銷量增加80％，似乎遠比減價20％而銷量增加20％更有利潤。但你現在可能已經猜到，方案B不是獲利最高的策略。
其實，兩種促銷都會減少獲利，但方案B的負面影響，遠大於方案A。兩個方案的獲利如下：
雖然促銷方案B的銷售幾乎增加一倍，但獲利也減少將近25％。售價打了六折後，為了維持原本的獲利350美元，你必須賣出2,300捲以上，增幅為133％。這個關係的曲線圖看來如下：
這種非線性現象也延伸到無形事物，像是消費者態度。以消費者與永續發展為例，我們經常聽到高階主管抱怨說，民眾嘴上說關心環境，實際上卻不願意多付錢購買環保產品。量化分析支持這樣的論點。美國國家地理學會（National Geographic Society）和GlobeScan針對18個國家的調查發現，長期下來，民眾對環境問題的關注顯著增加，但消費者行為改變的速度緩慢得多。
雖然接受調查的消費者，幾乎一致認同食品的生產和消費應更符合永續發展，但只有少數人改變自己的習慣，來支持這樣的目標。
這是怎麼回事？原來，消費者嘴上說在乎的事物，與他們的行為之間，通常存在高度的非線性關係。但經理人往往認為，傳統的量化工具，像是把重要性區分成一到五級的問卷調查，能以線性的方式預測消費者行為。實際上，研究顯示，在五級分的問卷調查中，給予環境關注最低一分與給四分的消費者，兩者的行為只有極小差異，或沒有差異。但給四分與給五分的消費者行為差異很大。消費者行為與態度的關係圖是曲線，而不是直線。
企業通常無法解釋這種形態，部分是因為他們專注在平均值。平均值掩蓋了非線性關係，並造成預測錯誤。例如，假設某家企業針對自己的兩個目標顧客區隔，進行永續發展問卷調查。其中一個顧客區隔裡所有的消費者，把自己對環境關注的評分都給了四分，而另一個顧客區隔裡，有50％的消費者給自己三分，另外的50％給自己五分。這兩個顧客區隔對環境關注的平均值都相同，但第二個顧客區隔裡的民眾，整體來說，更有可能購買綠色產品。這是因為五分的顧客，比起四分的，更有可能做出符合環保的選擇，而四分的顧客，並不會比三分的顧客更有可能購買綠色產品。
態度與行為的非線性關係一再出現於一些重要領域，包括消費者對隱私的關注。例如，在荷蘭進行的一份大規模調查發現，表示自己很重視隱私的顧客，持有的會員卡數量，與只略微在乎隱私的顧客相比，幾乎沒有什麼差異。表示自己很擔心隱私的顧客，怎麼可能會同意加入需要揭露機密個人資訊的會員計畫？同樣的情況，只有表示自己極端重視隱私的顧客，才會採取重大措施保護它，而絕大多數的其他人，無論關心隱私的分數是多少，都不會調整自己的行為。
選擇績效衡量指標時，也應該要知道會有非線性關係存在。例如，為了評估庫存管理的效能，部分企業會追蹤可供應存貨天數或產品持有天數，而其他企業可能追蹤年庫存週轉率。大多數經理人不知道，自家企業為什麼使用某個衡量指標，而不選另一個。但這個選擇很可能造成意想不到的後果，像是影響員工幹勁。假設某家企業能把可供應存貨天數，從12天降為6天，搭配額外的研究，還能進一步把天數降為四天。這等於是把年庫存週轉率，從三十次提高到六十次，然後再提升到九十次。但根據德國科隆大學（University of Cologne）托拜爾．施坦格爾（Tobias Stangl）和尤瑞奇．索恩曼（Ulrich Thonemann）的研究，如果企業追蹤年週轉率而不是存貨天數，員工就能因為達成改善而受到更大鼓舞。那是因為，當員工改善了庫存天數指標，他們的努力所獲得的回報（也就是改善的天數），看起來是在持續減少，但如果改善年週轉率，所得到的回報（也就是增加的次數），是固定不變的。
另外還有一些領域裡，企業可選擇使用不同的衡量指標，那些領域包括：倉儲（揀貨時間與揀貨率）、生產（生產時間與生產率）、品管（失敗間隔時間與失敗率）。
非線性關係無所不在。現在讓我們看看它可能的樣貌。
四種類型的非線性關係
了解非線性形態的最好方法就是親眼看到。它們有四種形態。
逐漸增加，然後陡峭上升。
例如，某公司有兩個客群，兩者的年度邊際貢獻都是一百美元。群體A的顧客保留率是20％，而群體B是60％。大多數的經理人認為，無論是提升哪一個客群的顧客保留率，對獲利都不會有太大影響。真要說起來，絕大多數人會覺得，把較低的顧客保留率提高一倍，比起把原本就較高的保留率提升三分之一，前者更具吸引力。
但你若是用下面的方程式計算顧客終身價值（customer lifetime value, CLV），就會發現，顧客終身價值是顧客保留率的非線性函數：
當保留率從20％升到40％，CLV會增加約35美元（假設把未來獲利，調整成當前價值的折現率為10％），但當保留率從60％升至80％，CLV會增加約147美元。隨著顧客保留率上升，顧客終身價值最初緩慢增加，之後會突然大幅拉升。
絕大多數的企業，都專注在找出最可能變心的顧客，然後針對他們推出行銷活動。然而，專注在較可能留下的顧客，通常更有利可圖。線性思考讓經理人低估了微幅增加高顧客保留率帶來的好處。
線性思考讓經理人低估了微幅增加高顧客保留率的好處。
逐漸減少，然後陡峭下墜。
這個形態的經典例子，就是房貸。開始還房貸的最初幾年，屋主可能驚訝發現債務減少的速度非常緩慢。但就固定利率與還款期限的房貸來說，最初每筆還款用來償還貸款本金的金額較少。本金的減少不是線性的。以三十年期、利率4.5％的165,000美元房貸來說，最初五年本金只減少15,000美元，但到了第25年，本金會降到45,000美元之下。所以，屋主在貸款期限的最初16％，償還的本金不到10％，但在最後16％，將償還超過四分之一的本金。
由於屋主被自己在這個情境中的線性思考誤導，以致幾年之後出售房產，扣除房仲費用後得到的淨利，往往少得讓他們大吃一驚。
快速上升後，逐漸放緩。
賣出更多產品，讓企業達到經濟規模，並提升單位獲利，這個指標常被用來衡量企業的效率。高階主管利用以下的方程式，來計算單位獲利：
例如，某家企業每年銷售十萬個產 品，每個產品售價兩美元，生產這些產品的成本是十萬美元，其中固定成本是五萬美元，單位變動成本是五十美分。單位獲利是一美元。這家企業可藉由生產與銷售更多產品，來增加單位獲利，因為有更多的產品可分攤固定成本。如果它把產品銷量提升為二十萬個，假設單位變動成本保持不變，單位獲利將增加為1.25美元。這麼誘人的獲利成長，或許會讓你以為，如果你能把銷量從十萬增加到八十萬，單位獲利將一飛沖天。情況未必如此。
如果公司把產品銷量從四十萬個增加一倍，到八十萬個（這遠比從十萬增加到二十萬個更困難），單位獲利只會增加約六美分。
經理人專注在經濟規模的效益與成長。然而，線性思考可能導致他們高估銷量驅動獲利的能力，因而低估其他更有影響力的驅動因素，如價格。
急降之後，緩降。
企業在評估投資案的時候，經常是以投資回收期為基礎，也就是回收成本所需的時間。較短的回收期，顯然更受青睞。假設你有兩個可投資的專案，專案A的回收期是兩年，專案B是四年。兩個專案團隊都相信自己能把回收期縮減一半。很多經理人可能覺得專案B更具吸引力，因為可節省兩年的時間，這是專案A節省時間的兩倍。
然而，企業領導人最終更關注的是投資報酬率，而不是達到損益兩平的時間。回收期一年的年報酬率是100％，而回收期兩年的是50％，兩者差了50個百分點。四年回收期的報酬率是25％，相差25個百分點。所以，回收期增加時，年報酬率最初會大幅降低，然後緩降。如果你的重點是達到更高的年報酬率，讓專案A的回收期減半，是更好的選擇。
經理人如果比較類似規模專案的組合，可能也會驚訝地發現，包含一個回收期一年，與一個回收期四年的專案組合報酬率，優於包含兩個回收期兩年的專案組合。經理人應小心，不要低估縮減相對較短的回收期，對年度報酬率會有什麼影響。
如何限縮線性偏誤的陷阱
只要是由人來擔任經理，人類大腦天生構造可能造成的偏誤，都會影響到商業決定的品質。然而，還是有可能把線性思維的陷阱降到最低。
步驟1：增加對線性偏誤的意識。企管碩士學程（MBA）應明確提醒未來的經理人注意這個現象，並教導他們處理這個問題的方法。企業也可以採取行動來教育員工，例如，讓他們練習有關非線性關係的問題（見邊欄：「測試你的非線性能力」）。根據我們的經驗，人們發現這樣的練習不只很有趣，也讓人大開眼界。
有好幾個領域已經開始實施廣泛的教育推廣。其中一個是「海洋引爆點」（Ocean Tipping Points）行動計畫，目標是提升民眾對海洋生態非線性關係的敏感度。科學家與經理人常假設，壓力源（捕魚）和生態回應（魚群減少）是線性關係。然而，壓力源的些微改變，有時可能造成不成比例的重大損害：捕魚活動小幅增加，可能導致某個魚群的毀滅。這個行動計畫的目標，是找出海洋生態的相關引爆點，幫忙改善天然資源管理。
步驟2：專注在結果，而不是指標。資深管理階層最重要的任務之一，是設立組織的方向與誘因。但理想的結果，往往與每日的商業決定相隔遙遠，因此，企業會確認有哪些相關的中介指標，並制定誘因，以追求最佳結果。例如，為了增加銷售，很多企業嘗試改善自家網站的自然搜尋（organic search）結果排名位置。
問題在於，這些中介指標可能變成最終目的，而不是工具，學者把這種現象稱為「媒介最大化」（medium maximization）。如果指標與結果之間不存在線性關係 這麼做就可能會有麻煩，例如自然搜尋結果的位置與銷售之間的關係，就是如此。當搜尋排名下滑，銷售剛開始會減少得很快，之後減少的速度會變慢：當網站搜尋排名從第一掉到第二名時，對銷售的影響，遠大於從第20名的位置掉到第25名。
其他時候，單一指標可能被用來預測多種結果，這也許會混淆人們，並誤導方向。以年報酬率為例。追求把單一投資案的未來價值極大化的經理人，可能會考慮以年報酬率作為指標。如果你把投資產品的年報酬率，以及累計總報酬率的關係畫出來，就會看見隨著年報酬率上升，總報酬率會緩慢增加，然後突然急速拉升。
另一位經理人，可能希望把達成特定投資目標的時間盡量縮短。這個時候，兩者的關係是相反的。年報酬率上升時，達成目標所需時間最初會驟減，然後緩慢下降。
年報酬率與多種結果之間，存在不同的線性關係，因此人們常高估或低估它的效果。想讓整體報酬率極大化的經理人，可能會很努力要讓報酬率從0.3％提高到0.7％，卻對從6.4％提高到6.6％的變化漠不關心。其實，提升較低的報酬率，對未來累計報酬率的影響，遠小於提升較高報酬率的影響。相反地，追求以最少時間達成投資目標的經理人，可能會決定承擔額外的風險，讓報酬率從6.3％提高到6.7％，卻不關心從0.4％提高到0.6％。在這個情況下，提升原本就較高的利率，對縮減達到存款目標所需時間的影響，遠不及提升較低利率的效果。
步驟3：找出你正在處理的非線性關係。早在1995年，湯瑪斯．瓊斯（Thomas Jones）和厄爾．塞瑟二世（W. Earl Sasser Jr.）刊登在《哈佛商業評論》的文章〈滿意的顧客為何會流失〉（Why Satisfied Customers Defect）就指出，顧客滿意度和顧客保留率之間的關係，經常是非線性的，但實際的變化，視各個產業而定。在高度競爭的產業，像是汽車業，隨著顧客滿意度增加，保留率最初會緩慢上升，然後急速拉升。在非競爭性產業，保留率通常會立刻拉升，然後和緩下來。
在這兩種情況中，線性思考都會導向錯誤。如果產業競爭激烈，經理人會高估提高完全不滿意顧客的滿意度，可望帶來的益處。如果產業競爭不激烈，經理人會高估增加原本就很滿意顧客的滿意度，可望帶來的益處。
重點是，經理人應避免針對各種情境的非線性關係，做出概括的結論，並設法了解具體情況中的因果關係。
要做到這點，一個愈來愈普遍的做法，就是實地實驗（見艾立克．安德森〔Eric T. Anderson〕和當肯．席梅斯特〔Duncan Simester〕2011年刊登在《哈佛商業評論》的文章〈科學化決策時代〉〔“A Step-by-Step Guide to Smart Business Experiments,”全球繁體中文版刊登於2011年3月號〕）。在設計實驗時，經理人務必要考慮非線性。例如，為了衡量價格對銷售的影響，很多人會試圖提供低價產品（下表的條件A）與高價產品（條件B），然後衡量兩者銷售的差異。但測試兩種價格，不會揭露非線性關係。你必須使用至少三個層級的價格，低、中（條件C）、高，才能注意到它們的非線性關係。
步驟4：條件允許時，畫出非線性關係。除了提供適當的訓練，企業還能建立支援系統，在經理人可能因偏向線性思考，而做出不好的決定時，給予警告。
理論上，演算法和人工智慧可辨別這類偏誤可能發揮作用的情況，並提供 資訊來反制它。當然，雖然人工智慧的進展，讓這種做法有可能在正式場合中發揮作用，卻無法處理非正式場合和交談中做出的決定。此外，建造這樣的系統，恐怕得花費大筆的時間和金錢。
數據視覺化是一個能有效克服線性偏誤的低科技做法。你在閱讀本篇文章時可能已經發現，每當我們希望你了解某個線性偏誤，就會展示非線性關係圖給你看。相較於用文字描述一連串統計數據，這些數據繪製成圖表之後，更加容易理解。視覺圖像也能讓你看見結果劇烈變化的轉捩點，讓你清楚掌握非線性的影響程度。
把非線性關係圖納入儀表板，甚至繪製成「在…情境下會如何」的各種情境圖，就能讓經理人更熟悉非線性關係，也就更有可能在做決定之前，先檢視是否有非線性關係。
數據視覺化是一個能有效克服線性偏誤的低科技做法。
針對有興趣讓顧客做出好決定的企業，視覺化也是一個很棒的工具。例如，想讓駕駛理解，車子已高速奔馳時，再加速可省下的時間其實很少，你可以在儀表板上，添加視覺提示，以顯示節省了多少時間。其中一個做法，是艾歐．皮爾（Eyal Pe'er）和艾歐．蓋瑪利爾（Eyal Gamliel）稱呼的「步速」（paceometer），會顯示行駛十哩需要的分鐘數。大多數駕駛人會很驚訝地發現，從時速四十哩，加速到65哩，每十哩可讓你省下約六分鐘，但同樣的距離，從時速65哩加速到90哩，只能節省約2.5分鐘，即使這兩個情況的時速都增加了25哩。
對行銷人員的啟示
現代行銷中的一個根本概念，是更聚焦在對消費者的益處，而不是產品特性，就能讓你賣出更多產品。例如，蘋果公司領悟到，民眾會覺得，提供「一千首歌擺在自己口袋裡」的MP3播放器，比「內建儲存容量5GB」的播放器更有吸引力。
然而，我們的架構顯示，在很多情況下，企業其實是從推銷產品特性，而不是強調益處而得利。這運用的是，消費者多半假定特性與益處之間存在線性關係。但其實未必如此。
我們可列出一堆例子來說明，向顧客展現實際益處，可能會讓他們知道自己在哪些地方支付了過高的價格，他們也許會因此而改變購買行為；向顧客說明產品益處有很多種方式，例如提供每分鐘列印張數、會員計畫點數、防曬係數，這還只是少數幾個例子而已。寬頻升級是另一個很好的例子。我們的研究顯示，連網速度的定價是線性的：消費者從較慢的速度，升級到較快的速度，或是從較快的速度，升級到更快的，都是花費同樣的錢。但下載速度和下載時間，屬於非線性關係。隨著下載速度增加，最初下載時間會大幅下降，然後減幅逐步放緩。從每秒五百萬位元（mbp），升級到25Mbps，每下載十億位元組，可節省21分鐘，同樣的情況下，速度從25Mbps升級到100Mbps，只會節省四分鐘。當消費者看到網速升級到100Mbps的實際效益之後，可能會比較想要較便宜、較慢的連網速度。
當然，刻意利用消費者對特性與益處的關係有錯誤看法，是個不夠誠實的行銷策略。企業利用消費者的不知情，普遍被視為不道德的手段（見邊欄：「拯救消費者免受線性偏誤所苦」）。
警覺線性思考的陷阱
近年來，有為數眾多的專家，包括生態學家、生理學家和醫師，開始固定把非線性關係納入決策考量。但商業世界裡的非線性關係，就跟其他世界一樣多。現在管理專家也該加入其他領域的行列，在非線性世界裡，更加留意線性思考的陷阱。這能增加他們做出明智選擇的能力，並幫助他們周遭的人，也做出好的決定。
（劉純佑譯自“Linear Thinking in a Nonlinear World,” HBR, May-June 2017）
